一元二次方程求根公式是什么

易道招生网 2026-01-15 11:39:46

一元二次方程求根公式是什么

一元二次方程是数学中一种重要的方程形式，通常表示为 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0，其中 a，b，ca，b，ca，b，c 为常数且 a≠0a\neq 0a=0。求解这一方程的根，即找到满足该方程的 xxx 值，通常使用求根公式。该公式为：

x1，2=−b±b2−4ac2ax_{1，2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}x1，2​=2a−b±b2−4ac​​

求根公式的组成部分

在这个公式中，b2−4acb^2-4acb2−4ac 被称为判别式（Δ），它决定了方程根的性质：

当 Δ > 0 时：方程有两个不同的实数根。

当 Δ = 0 时：方程有两个相等的实数根（重根）。

当 Δ ：方程没有实数根，而是有两个共轭复根。

求根公式的推导

求根公式的推导可以通过配方法进行。将一元二次方程 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 两边同时除以 aaa，得到：

x2+bax+ca=0x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0x2+ab​x+ac​=0

接着，为了使左侧成为完全平方形式，我们在两边同时加上 (b2a)2\left(\frac{b}{2a}\right)^2(2ab​)2：

x2+bax+(b2a)2=(b2a)2−cax^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}x2+ab​x+(2ab​)2=(2ab​)2−ac​

化简后得到：

(x+b2a)2=b2−4ac4a2\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}(x+2ab​)2=4a2b2−4ac​

然后，两边开平方，得到：

x+b2a=±b2−4ac2ax+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}x+2ab​=±2ab2−4ac​​

整理得到求根公式：

x=−b2a±b2−4ac2a=−b±b2−4ac2ax=-\frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}x=−2ab​±2ab2−4ac​​=2a−b±b2−4ac​​

示例

假设我们需要解决方程 1x2+3x−4=01x^2+3x-4=01x2+3x−4=0，则系数为 a=1，b=3，c=−4a=1，b=3，c=-4a=1，b=3，c=−4。

计算判别式：

Δ=b2−4ac=32−4(1)(−4)=9+16=25>0Δ=b^2-4ac=3^2-4(1)(-4)=9+16=25>0Δ=b2−4ac=32−4(1)(−4)=9+16=25>0

该方程有两个不同的实数根。

应用求根公式：

x1，2=−3±252(1)=−3±52x_{1，2}=\frac{-3\pm \sqrt{25}}{2(1)}=\frac{-3\pm 5}{2}x1，2​=2(1)−3±25​​=2−3±5​

解得：

x1=22=1，x2=−82=−4x_1=\frac{2}{2}=1，\quad x_2=\frac{-8}{2}=-4x1​=22​=1，x2​=2−8​=−4

一元二次方程求根公式不仅是解决此类方程的有效工具，还能通过判别式帮助我们了解方程解的性质。掌握这一公式对于学习和应用数学具有重要意义。

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