二次函数顶点坐标公式及推导过程

二次函数是数学中一个重要的概念，其标准形式为 y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+cy=ax2+bx+c（其中 a，b，ca，b，ca，b，c 为常数且 a≠0a\neq 0a=0）。二次函数的图像是一条抛物线，顶点坐标是其重要特征之一。本文将介绍二次函数顶点坐标公式及其推导过程。

顶点坐标公式

对于给定的二次函数 y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+cy=ax2+bx+c，其顶点坐标可以通过以下公式计算：

顶点横坐标： h=−b2ah=-\frac{b}{2a}h=−2ab​

顶点纵坐标： k=4ac−b24ak=\frac{4ac-b^2}{4a}k=4a4ac−b2​

顶点坐标为 (h，k)=(−b2a，4ac−b24a)(h，k)=\left(-\frac{b}{2a}，\frac{4ac-b^2}{4a}\right)(h，k)=(−2ab​，4a4ac−b2​)。

推导过程

推导二次函数顶点坐标公式的过程主要通过配方来实现。以下是详细步骤：

从标准形式开始：

y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+cy=ax2+bx+c

提取系数：

将 aaa 提取出来，得到：

y=a(x2+bax)+cy=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+cy=a(x2+ab​x)+c

完成平方：

为了完成平方，我们需要在括号内添加和减去一个合适的数。这个数是 (b2a)2\left(\frac{b}{2a}\right)^2(2ab​)2，所以我们可以写成：

y=a(x2+bax+(b2a)2−(b2a)2)+cy=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)+cy=a(x2+ab​x+(2ab​)2−(2ab​)2)+c

这可以简化为：

y=a((x+b2a)2−b24a2)+cy=a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}\right)+cy=a((x+2ab​)2−4a2b2​)+c

整理表达式：

将上面的式子整理，可以得到：

y=a(x+b2a)2−ab24a2+cy=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{ab^2}{4a^2}+cy=a(x+2ab​)2−4a2ab2​+c

进一步简化后：

y=a(x+b2a)2+(c−b24a)y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\left(c-\frac{b^2}{4a}\right)y=a(x+2ab​)2+(c−4ab2​)

确定顶点坐标：

从上面的表达式中可以看出，顶点的横坐标为 h=−b2ah=-\frac{b}{2a}h=−2ab​，纵坐标为 k=c−b24a=4ac−b24ak=c-\frac{b^2}{4a}=\frac{4ac-b^2}{4a}k=c−4ab2​=4a4ac−b2​。

通过上述推导，我们得出了二次函数的顶点坐标公式。掌握这一公式不仅有助于理解二次函数的性质，还能在解决实际问题时提供便利。无论是在绘制抛物线图像，还是在求解最值问题时，顶点坐标都是不可或缺的重要信息。