什么是代数余子式

易道招生网 2025-12-20 03:48:05

什么是代数余子式

代数余子式是线性代数中的一个重要概念，通常用于行列式的计算。它涉及到从一个n阶行列式中去掉特定的行和列，从而得到一个(n-1)阶的行列式，并根据去掉的行和列的索引计算出相应的符号。

代数余子式的定义

在一个n阶行列式中，设有元素 aija_{ij}aij​，其代数余子式定义为：将包含该元素的第i行和第j列划去后，剩下的(n-1)阶行列式称为该元素的余子式，记作 MijM_{ij}Mij​。然后，将这个余子式乘以 (−1)i+j(-1)^{i+j}(−1)i+j，得到的结果就是元素 aija_{ij}aij​ 的代数余子式，通常记作 AijA_{ij}Aij​。因此可以表示为：

Aij=(−1)i+jMijA_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}Aij​=(−1)i+jMij​

这里，MijM_{ij}Mij​ 是去掉第i行和第j列后的(n-1)阶行列式。

代数余子式的性质

位置依赖性：代数余子式仅与元素的位置有关，而与元素本身无关。这意味着同一位置的不同元素会有相同的代数余子式。

符号规则：代数余子式的符号由其所在行和列索引之和的奇偶性决定。如果 i+ji+ji+j 为偶数，则代数余子式为正；如果为奇数，则为负。

展开性质：行列式可以通过任意一行或一列展开为各元素与其对应代数余子式的乘积之和。例如，对于一个n阶行列式D，可以表示为：

D=a1jA1j+a2jA2j+...+anjAnjD=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj}D=a1j​A1j​+a2j​A2j​+...+anj​Anj​

代数余子式的应用

代数余子式在计算行列式时极为重要。通过将高阶行列式转化为低阶行列式，可以简化计算过程。例如，在求解线性方程组、计算矩阵的逆以及在特征值问题中，代数余子式都发挥着关键作用。

示例

考虑一个3阶行列式：

D=∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}D=​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​​

若我们要计算元素 a11a_{11}a11​ 的代数余子式 A11A_{11}A11​，则首先去掉第一行和第一列，得到：

M11=∣a22a23a32a33∣M_{11}=\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}M11​=​a22​a32​​a23​a33​​​

然后计算其符号，得到：

A11=(−1)1+1M11=M11A_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=M_{11}A11​=(−1)1+1M11​=M11​

通过这种方法，可以逐步展开并计算更高阶的行列式。

代数余子式不仅是线性代数中的基本工具，也是理解更复杂数学概念的重要基础。

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