伴随矩阵怎么求？附伴随矩阵的计算公式(高中知识)_易道招生网

伴随矩阵是线性代数中的一个重要概念，通常用于求解矩阵的逆以及解决线性方程组。本文将详细介绍伴随矩阵的求法及其计算公式，帮助读者更好地理解这一内容。

伴随矩阵的定义

伴随矩阵（adjugate matrix）是一个与原矩阵密切相关的矩阵。对于一个 n×nn\times nn×n 的方阵 AAA，其伴随矩阵通常记作 adj(A)\text{adj}(A)adj(A)。伴随矩阵的每个元素是原矩阵某个元素的代数余子式的转置。

计算伴随矩阵的步骤

1. 计算代数余子式

对于矩阵 A=(aij)A=(a_{ij})A=(aij)，每个元素 aija_{ij}aij 的代数余子式 AijA_{ij}Aij 定义为：

Aij=(−1)i+jMijA_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}Aij=(−1)i+jMij

其中，MijM_{ij}Mij 是去掉第 iii 行和第 jjj 列后的剩余部分形成的行列式。

2. 构建余子矩阵

余子矩阵 CCC 是一个 n×nn\times nn×n 矩阵，其第 iii 行第 jjj 列的元素为代数余子式 AijA_{ij}Aij。

3. 转置得到伴随矩阵

伴随矩阵则为余子矩阵的转置：

adj(A)=CT\text{adj}(A)=C^Tadj(A)=CT

具体计算示例

以一个 3×33\times 33×3 矩阵为例：

A=(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}A=a11a21a31a12a22a32a13a23a33

步骤如下：

计算各个代数余子式：

A11=(−1)1+1M11=M11=∣a22a33−a23a32∣A_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=M_{11}=|a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}|A11=(−1)1+1M11=M11=∣a22a33−a23a32∣

A12=(−1)1+2M12=−M12=−∣a21a33−a23a31∣A_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-M_{12}=-|a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}|A12=(−1)1+2M12=−M12=−∣a21a33−a23a31∣

依此类推，计算出所有代数余子式。

构建余子矩阵：

C=(A11A12A13A21A22A23A31A32A33)C=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{pmatrix}C=A11A21A31A12A22A32A13A23A33

转置得到伴随矩阵：

adj(A)=CT\text{adj}(A)=C^Tadj(A)=CT

伴随矩阵的性质

如果矩阵 AAA 可逆，则有：

A⋅adj(A)=∣A∣InA\cdot \text{adj}(A)=|A|I_nA⋅adj(A)=∣A∣In

其中，InI_nIn 是单位矩阵，∣A∣|A|∣A∣ 是行列式。

伴随矩阵在求解线性方程组时也非常有用，可以通过伴随矩阵与行列式来求解未知数。

通过掌握上述步骤和公式，学生可以有效地求解任意阶方阵的伴随矩阵，为进一步学习线性代数打下坚实基础。

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