十字相乘法口诀图解

十字相乘法是一种常用的数学技巧，主要用于一元二次方程的因式分解。这种方法通过交叉相乘的方式，帮助学生更直观地理解和解决二次方程。本文将详细介绍十字相乘法的基本原理、步骤以及应用实例，以便读者能够掌握这一重要的数学工具。

十字相乘法的基本原理

十字相乘法基于二次多项式的乘法公式 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab。在这个公式中，x2x^2x2 是二次项，(a+b)x(a+b)x(a+b)x 是一次项，而 ababab 是常数项。十字相乘法的核心在于将二次多项式分解为两个一次多项式的乘积，从而简化求解过程。

具体来说，对于一个标准形式的二次方程 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0，我们需要找到两个数 mmm 和 nnn，使得：

m⋅n=cm\cdot n=cm⋅n=c（常数项）

m+n=bm+n=bm+n=b（一次项系数）

十字相乘法的步骤

1. 确定方程

我们需要明确要解决的方程。例如，考虑方程 6x2−7x−5=06x^2-7x-5=06x2−7x−5=0。

2. 找到合适的因子

接下来，我们需要找到两个数 mmm 和 nnn，使得：

m⋅n=−5m\cdot n=-5m⋅n=−5

m+n=−7m+n=-7m+n=−7

通过尝试，我们可以找到 m=−5m=-5m=−5 和 n=1n=1n=1。

3. 构建十字图

在纸上画一个十字，将系数和常数项放置在适当的位置：

text m n

-5 1

4. 交叉相乘

根据十字相乘法，左边的乘积应等于二次项系数，右边的乘积应等于常数项。通过交叉相乘，我们得到：

左边：6⋅1=66\cdot 1=66⋅1=6

右边：−5⋅(−1)=5-5\cdot (-1)=5−5⋅(−1)=5

然后，我们可以写出因式分解结果：

(2x+1)(3x−5)=0(2x+1)(3x-5)=0(2x+1)(3x−5)=0

5. 求解方程

通过设定每个因式为零，可以得到方程的解：

2x+1=0⇒x=−122x+1=0\Rightarrow x=-\frac{1}{2}2x+1=0⇒x=−21​

3x−5=0⇒x=533x-5=0\Rightarrow x=\frac{5}{3}3x−5=0⇒x=35​

应用实例

让我们再看一个例子，考虑方程 2x2+11x+5=02x^2+11x+5=02x2+11x+5=0。

步骤解析

确定因子：我们需要找到两个数，使得：

m⋅n=10m\cdot n=10m⋅n=10（因为 2⋅5=102\cdot 5=102⋅5=10）

m+n=11m+n=11m+n=11

可以选择 101010 和 111。

构建十字图：

text m n

10 1

交叉相乘：进行交叉相乘，得到：

左边：2⋅1=22\cdot 1=22⋅1=2

右边：10⋅(5)=5010\cdot (5)=5010⋅(5)=50

因式分解：最终可以写成：

(2x+1)(x+5)=0(2x+1)(x+5)=0(2x+1)(x+5)=0

求解方程：得到解为：

x=−12x=-\frac{1}{2}x=−21​

x=−5x=-5x=−5

十字相乘法是一种有效且直观的方法，用于解决一元二次方程。通过掌握这一方法，学生不仅能够提高解题效率，还能加深对多项式运算的理解。通过不断练习和应用，十字相乘法将成为学生数学学习中的一项重要技能。