点到直线的距离公式及推导过程

易道招生网 2025-12-19 20:06:27

点到直线的距离公式及推导过程

点到直线的距离是解析几何中的一个基本概念，通常用于计算一个点与一条直线之间的最短距离。本文将介绍这一公式及其推导过程。

点到直线的距离公式

设直线的方程为 Ax+By+C=0Ax+By+C=0Ax+By+C=0，点的坐标为 (x0，y0)(x_0，y_0)(x0​，y0​)，则点到直线的距离 ddd 可以用以下公式表示：

d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}d=A2+B2​∣Ax0​+By0​+C∣​

这个公式的意义在于，它通过计算点到直线的法线距离，得出最短距离。

推导过程

推导这个公式可以通过几何方法和代数方法进行。

几何推导

设定直线和点：考虑直线 Ax+By+C=0Ax+By+C=0Ax+By+C=0 和点 P(x0，y0)P(x_0，y_0)P(x0​，y0​)。

作垂线：从点 PPP 向直线作垂线，设垂足为 QQQ。

计算PQ的长度：根据直线的性质，PQ的长度即为点到直线的距离。

代数推导

求法向量：直线的法向量为 (A，B)(A，B)(A，B)。

点到直线的距离：通过向量投影的方法，可以得到：

垂足 QQQ 的坐标可以通过联立方程求出。

最后利用两点间的距离公式计算PQ的长度。

具体来说，利用两点间的距离公式：

d=(x0−xQ)2+(y0−yQ)2d=\sqrt{(x_0-x_Q)^2+(y_0-y_Q)^2}d=(x0​−xQ​)2+(y0​−yQ​)2​

经过一系列代数变换，最终可以得到上述的距离公式。

示例

假设有一个点 P(−1，2)P(-1，2)P(−1，2) 和一条直线 2x+y−10=02x+y-10=02x+y−10=0。我们可以计算该点到直线的距离：

确定参数：这里 A=2A=2A=2，B=1B=1B=1，C=−10C=-10C=−10，x0=−1x_0=-1x0​=−1，y0=2y_0=2y0​=2。

代入公式：

d=∣2⋅(−1)+1⋅2−10∣22+12=∣10∣5=105=25d=\frac{|2\cdot (-1)+1\cdot 2-10|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{|10|}{\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}d=22+12​∣2⋅(−1)+1⋅2−10∣​=5​∣10∣​=5​10​=25​

点 P(−1，2)P(-1，2)P(−1，2) 到直线 2x+y−10=02x+y-10=02x+y−10=0 的距离为 252\sqrt{5}25​。

点到直线的距离公式在解析几何中具有重要应用，不仅可以帮助我们解决几何问题，还能在实际工程和科学计算中发挥作用。掌握这一公式及其推导过程，对于提高数学素养和解决实际问题能力具有重要意义。

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