一元二次方程求根公式及解法

易道招生网 2025-12-19 20:20:19

一元二次方程是数学中一种基本的代数方程，形式为 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0（其中 a≠0a\neq 0a=0）。其求根公式是解决此类方程的重要工具，能够快速求出方程的解。本文将介绍一元二次方程的求根公式及其解法，并列出具体的例子。

一元二次方程求根公式

一元二次方程的求根公式如下：

x=−b±Δ2ax=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}x=2a−b±Δ

其中，判别式 Δ\Delta Δ 定义为：

Δ=b2−4ac\Delta =b^2-4acΔ=b2−4ac

根据判别式的值，可以判断方程根的性质：

当 Δ>0\Delta >0Δ>0 时，方程有两个不相等的实数根。

当 Δ=0\Delta =0Δ=0 时，方程有两个相等的实数根（重根）。

当 Δ0\Delta Δ0 时，方程无实数根，但有两个共轭复根。

解一元二次方程的一般步骤如下：

确定系数：从方程中提取出 a，b，ca，b，ca，b，c 的值。

计算判别式：使用公式计算 Δ=b2−4ac\Delta =b^2-4acΔ=b2−4ac。

应用求根公式：根据判别式的值选择合适的求根方式：

如果 Δ>0\Delta >0Δ>0，使用 x=−b+Δ2ax=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}x=2a−b+Δ 和 x=−b−Δ2ax=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}x=2a−b−Δ 求出两个不同的实数根。

如果 Δ=0\Delta =0Δ=0，使用 x=−b2ax=\frac{-b}{2a}x=2a−b 求出一个重根。

如果 Δ0\Delta Δ0，则表示没有实数解，可以用复数形式表示解。

以方程 x2+3x−4=0x^2+3x-4=0x2+3x−4=0 为例：

确定系数：a=1，b=3，c=−4a=1，b=3，c=-4a=1，b=3，c=−4

计算判别式：

Δ=32−4(1)(−4)=9+16=25\Delta =3^2-4(1)(-4)=9+16=25Δ=32−4(1)(−4)=9+16=25

应用求根公式：

x1=−3+252(1)=−3+52=1x_1=\frac{-3+\sqrt{25}}{2(1)}=\frac{-3+5}{2}=1x1=2(1)−3+25=2−3+5=1

x2=−3−252(1)=−3−52=−4x_2=\frac{-3-\sqrt{25}}{2(1)}=\frac{-3-5}{2}=-4x2=2(1)−3−25=2−3−5=−4

该方程的两个解为 x1=1，x2=−4x_1=1，x_2=-4x1=1，x2=−4。

一元二次方程的求根公式是解决此类方程的重要工具，通过简单的步骤和判别式，可以迅速判断并找到方程的解。这一方法在数学学习和实际应用中都具有重要意义。

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文章标题：一元二次方程求根公式及解法
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