三角函数倍角公式和半角公式推导与运用

易道招生网 2025-12-19 21:31:54

三角函数倍角公式和半角公式推导与运用

三角函数的倍角公式和半角公式是数学中重要的工具，广泛应用于三角函数的计算与简化。本文将介绍这两类公式的推导及其应用。

倍角公式

倍角公式用于计算一个角的两倍的三角函数值。主要的倍角公式包括：

正弦倍角公式：

sin⁡(2θ)=2sin⁡(θ)cos⁡(θ)\sin(2\theta)=2\sin(\theta)\cos(\theta)sin(2θ)=2sin(θ)cos(θ)

余弦倍角公式：

cos⁡(2θ)=cos⁡2(θ)−sin⁡2(θ)=2cos⁡2(θ)−1=1−2sin⁡2(θ)\cos(2\theta)=\cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)=2\cos^2(\theta)-1=1-2\sin^2(\theta)cos(2θ)=cos2(θ)−sin2(θ)=2cos2(θ)−1=1−2sin2(θ)

正切倍角公式：

tan⁡(2θ)=2tan⁡(θ)1−tan⁡2(θ)\tan(2\theta)=\frac{2\tan(\theta)}{1-\tan^2(\theta)}tan(2θ)=1−tan2(θ)2tan(θ)​

推导过程

倍角公式可以通过和角公式推导而来。以正弦倍角公式为例：

sin⁡(2θ)=sin⁡(θ+θ)=sin⁡(θ)cos⁡(θ)+cos⁡(θ)sin⁡(θ)=2sin⁡(θ)cos⁡(θ)\sin(2\theta)=\sin(\theta +\theta)=\sin(\theta)\cos(\theta)+\cos(\theta)\sin(\theta)=2\sin(\theta)\cos(\theta)sin(2θ)=sin(θ+θ)=sin(θ)cos(θ)+cos(θ)sin(θ)=2sin(θ)cos(θ)

半角公式

半角公式用于计算一个角的一半的三角函数值，主要包括：

正弦半角公式：

sin⁡(θ2)=±1−cos⁡(θ)2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos(\theta)}{2}}sin(2θ​)=±21−cos(θ)​​

余弦半角公式：

cos⁡(θ2)=±1+cos⁡(θ)2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{1+\cos(\theta)}{2}}cos(2θ​)=±21+cos(θ)​​

正切半角公式：

tan⁡(θ2)=sin⁡(θ)1+cos⁡(θ)=1−cos⁡(θ)sin⁡(θ)\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)=\frac{\sin(\theta)}{1+\cos(\theta)}=\frac{1-\cos(\theta)}{\sin(\theta)}tan(2θ​)=1+cos(θ)sin(θ)​=sin(θ)1−cos(θ)​

推导过程

以正弦半角公式为例，其推导可以基于余弦倍角公式：

从余弦倍角公式得：

cos⁡(2α)=1−2sin⁡2(α)\cos(2\alpha)=1-2\sin^2(\alpha)cos(2α)=1−2sin2(α)

设 2α=θ2\alpha =\theta 2α=θ，则有：

cos⁡(θ)=1−2sin⁡2(θ2)\cos(\theta)=1-2\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)cos(θ)=1−2sin2(2θ​)

通过变换可得半角公式。

应用实例

在实际应用中，倍角和半角公式常用于简化复杂的三角函数表达式。例如，在解三角形、计算面积或在物理问题中涉及周期性现象时，这些公式能有效减少计算量。

示例问题

计算 sin⁡(60∘)\sin(60^\circ)sin(60∘) 使用倍角公式:

利用 60∘=2×30∘60^\circ =2\times30^\circ 60∘=2×30∘，得

sin⁡(60∘)=2sin⁡(30∘)cos⁡(30∘)=2×12×32=32\sin(60^\circ)=2\sin(30^\circ)\cos(30^\circ)=2\times\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}sin(60∘)=2sin(30∘)cos(30∘)=2×21​×23​​=23​​

计算 cos(45∘)cos(45^\circ)cos(45∘) 使用半角公式:

利用 45∘=90∘/245^\circ =90^\circ/245∘=90∘/2，得

cos(45∘)=+1+cos(90∘)2=+1+02=+12cos(45^\circ)=+\sqrt{\frac{1+cos(90^\circ)}{2}}=+\sqrt{\frac{1+0}{2}}=+\frac{1}{\sqrt{2}}cos(45∘)=+21+cos(90∘)​​=+21+0​​=+2​1​

三角函数的倍角和半角公式不仅在理论上具有重要意义，也在实际应用中展现出极大的便利性。

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