等差数列前n项和公式是什么

等差数列是数学中一种常见的数列类型，其特点是从第二项起，每一项与前一项的差（称为公差）是一个固定的常数。等差数列的通项公式为：

an=a1+(n−1)da_n=a_1+(n-1)dan​=a1​+(n−1)d

其中，a1a_1a1​ 是首项，ddd 是公差，nnn 是项数。

等差数列前n项和公式

等差数列的前n项和（记作 SnS_nSn​）可以通过以下公式计算：

公式一：

Sn=n2×(a1+an)S_n=\frac{n}{2}\times (a_1+a_n)Sn​=2n​×(a1​+an​)

其中，ana_nan​ 是第n项。

公式二：

Sn=n×a1+n(n−1)2×dS_n=n\times a_1+\frac{n(n-1)}{2}\times dSn​=n×a1​+2n(n−1)​×d

该公式直接利用了首项和公差。

公式推导

以第一种公式为例，可以通过倒序相加法进行推导。设 SnS_nSn​ 为前n项和：

Sn=a1+a2+a3+...+anS_n=a_1+a_2+a_3+...+a_nSn​=a1​+a2​+a3​+...+an​

将其倒序写为：

Sn=an+an−1+...+a1S_n=a_n+a_{n-1}+...+a_1Sn​=an​+an−1​+...+a1​

将这两个式子相加，得到：

2Sn=(a1+an)+(a2+an−1)+...+(an/2+a(n/2)+1)2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+...+(a_{n/2}+a_{(n/2)+1})2Sn​=(a1​+an​)+(a2​+an−1​)+...+(an/2​+a(n/2)+1​)

每一对括号内的和都是相同的，因此可以得出：

Sn=n2×(a1+an)S_n=\frac{n}{2}\times (a_1+a_n)Sn​=2n​×(a1​+an​)

应用实例

例如，对于等差数列 2，4，6，8，102，4，6，8，102，4，6，8，10，其首项 a1=2a_1=2a1​=2，公差 d=2d=2d=2，且有5项。我们可以计算前5项和：

使用公式一：

S5=52×(2+10)=52×12=30S_5=\frac{5}{2}\times (2+10)=\frac{5}{2}\times 12=30S5​=25​×(2+10)=25​×12=30

使用公式二：

S5=5×2+5(5−1)2×2=10+20=30S_5=5\times 2+\frac{5(5-1)}{2}\times 2=10+20=30S5​=5×2+25(5−1)​×2=10+20=30

两种方法得到的结果一致，验证了公式的正确性。

等差数列前n项和的计算在数学中具有广泛应用，无论是在解决实际问题还是在理论研究中，掌握这些公式和推导过程都是非常重要的。通过理解其基本性质与应用，可以更有效地进行相关数学问题的解决。