二次函数顶点坐标公式是什么

二次函数是数学中一个重要的概念，其形式通常为 y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+cy=ax2+bx+c，其中 aaa、bbb 和 ccc 是常数，且 a≠0a\neq 0a=0。二次函数的图像呈现为抛物线，开口方向由系数 aaa 的符号决定：当 a>0a>0a>0 时，抛物线向上开口；当 a0aa0 时，抛物线向下开口。

二次函数顶点坐标公式

二次函数的顶点坐标公式是研究其图像性质的重要工具。根据二次函数的一般式，可以推导出顶点坐标。具体而言，二次函数的顶点坐标为：

(h，k)=(−b2a，4ac−b24a)(h，k)=\left(-\frac{b}{2a}，\frac{4ac-b^2}{4a}\right)(h，k)=(−2ab​，4a4ac−b2​)

推导过程

从一般式到顶点式：我们可以通过配方将一般式转化为顶点式。将 y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+cy=ax2+bx+c 进行配方：

y=a(x2+bax)+cy=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+cy=a(x2+ab​x)+c

接着，我们在括号内添加并减去 (b2a)2\left(\frac{b}{2a}\right)^2(2ab​)2：

y=a((x+b2a)2−(b2a)2)+cy=a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)+cy=a((x+2ab​)2−(2ab​)2)+c

展开后得到：

y=a(x+b2a)2+c−b24ay=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}y=a(x+2ab​)2+c−4ab2​

由此可得顶点坐标为 h=−b2ah=-\frac{b}{2a}h=−2ab​，而 k=c−b24a=4ac−b24ak=c-\frac{b^2}{4a}=\frac{4ac-b^2}{4a}k=c−4ab2​=4a4ac−b2​。

顶点的几何意义

在二次函数图像中，顶点是抛物线的最高或最低点，具体取决于开口方向。对于开口向上的抛物线，顶点是最低点；而对于开口向下的抛物线，顶点则是最高点。抛物线的对称轴为直线 x=−b2ax=-\frac{b}{2a}x=−2ab​，这条线将抛物线分成两部分。

应用实例

例1：对于函数 y=2x2−8x+6y=2x^2-8x+6y=2x2−8x+6，我们可以计算其顶点坐标：

计算 h=−−82∗2=2h=-\frac{-8}{2*2}=2h=−2∗2−8​=2

计算 k=4∗2∗6−(−8)24∗2=−2k=\frac{4*2*6-(-8)^2}{4*2}=-2k=4∗24∗2∗6−(−8)2​=−2

顶点坐标为 (2，−2)(2，-2)(2，−2)。

例2：对于函数 y=−3x2+12x−5y=-3x^2+12x-5y=−3x2+12x−5，计算如下：

计算 h=−12−6=2h=-\frac{12}{-6}=2h=−−612​=2

计算 k=4∗(−3)∗(−5)−1224∗(−3)=7k=\frac{4*(-3)*(-5)-12^2}{4*(-3)}=7k=4∗(−3)4∗(−3)∗(−5)−122​=7

顶点坐标为 (2，7)(2，7)(2，7)。

通过掌握二次函数的顶点坐标公式，学生能够更好地理解和应用二次函数的性质，为解决实际问题提供便利。