高中数学柯西不等式公式-柯西不等式高中例题(知识点

易道招生网 2025-12-01 12:46:48

柯西不等式是高中数学中一个重要的知识点，广泛应用于各类不等式证明和函数极值问题。本文将介绍柯西不等式的基本公式及其在高中数学中的应用，通过例题帮助学生更好地理解这一概念。

柯西不等式的基本公式

柯西不等式主要有以下几种形式：

代数形式：

(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq (ac+bd)^2(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

其中，当且仅当 ad=bcad=bcad=bc 时，等号成立。

向量形式：

对于任意两个向量 α\alpha α 和 β\beta β，有：

等号成立的条件是两个向量方向相同或相反。

三角不等式：

对任意实数 x1，y1，x2，y2，x3，y3x_1，y_1，x_2，y_2，x_3，y_3x1，y1，x2，y2，x3，y3，有：

(x1−x2)2+(y1−y2)2+(x2−x3)2+(y2−y3)2≥(x1−x3)2+(y1−y3)2\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}+\sqrt{(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2}\geq \sqrt{(x_1-x_3)^2+(y_1-y_3)^2}(x1−x2)2+(y1−y2)2+(x2−x3)2+(y2−y3)2≥(x1−x3)2+(y1−y3)2

当且仅当三点共线时，等号成立。

柯西不等式的例题

例题1

题目：设 a=3a=3a=3， b=4b=4b=4， c=5c=5c=5， d=12d=12d=12，验证柯西不等式是否成立。

解答：

计算左侧：

(32+42)(52+122)=(9+16)(25+144)=25⋅169=4225(3^2+4^2)(5^2+12^2)=(9+16)(25+144)=25\cdot 169=4225(32+42)(52+122)=(9+16)(25+144)=25⋅169=4225

计算右侧：

(3⋅5+4⋅12)2=(15+48)2=632=3969(3\cdot 5+4\cdot 12)^2=(15+48)^2=63^2=3969(3⋅5+4⋅12)2=(15+48)2=632=3969

因为 4225≥39694225\geq 39694225≥3969，所以柯西不等式成立。

例题2

题目：求使得 x+y+z=6x+y+z=6x+y+z=6 时，xy+xz+yzxy+xz+yzxy+xz+yz 的最大值。

解答：

根据柯西不等式，我们有：

(x+y+z)2≥3(xy+xz+yz)(x+y+z)^2\geq 3(xy+xz+yz)(x+y+z)2≥3(xy+xz+yz)

代入条件得：

62≥3(xy+xz+yz) ⟹ 36≥3(xy+xz+yz) ⟹ xy+xz+yz≤126^2\geq 3(xy+xz+yz)\implies 36\geq 3(xy+xz+yz)\implies xy+xz+yz\leq 1262≥3(xy+xz+yz)⟹36≥3(xy+xz+yz)⟹xy+xz+yz≤12

当且仅当 x=y=z=2x=y=z=2x=y=z=2 时，等号成立，此时最大值为 121212。

例题3

题目：证明对于任意非负实数 a，b，ca，b，ca，b，c，有 a+b+c≥3abc3a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}a+b+c≥33abc。

解答：

这是著名的算术几何平均不等式，可以通过柯西不等式证明。考虑三项的平方和：

(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)

结合 AM-GM 不等式可以得出所需结果。

柯西不等式在高中数学中具有重要的地位，它不仅是解决各种不等式问题的利器，也是理解更高级数学概念的基础。通过上述例题，可以看出柯西不等式在实际应用中的有效性和必要性。希望同学们能够熟练掌握并灵活运用这一重要工具。

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