函数的单调性怎么判断？附判断单调性的5种方法(高中

函数的单调性是数学中一个重要的概念，尤其在高中阶段的学习中，掌握函数的单调性判断方法对理解函数性质和解决实际问题至关重要。本文将介绍函数单调性的判断方法，并列出五种常用的方法。

函数单调性的定义

函数 f(x)f(x)f(x) 在区间 (a，b)(a，b)(a，b) 上是单调递增的，如果对于任意 x1，x2∈(a，b)x_1，x_2\in (a，b)x1​，x2​∈(a，b)，当 x1x2x_1x1​x2​ 时，有 f(x1)f(x2)f(x_1)f(x1​)f(x2​)。相反，如果 f(x1)>f(x2)f(x_1)>f(x_2)f(x1​)>f(x2​)，则称 f(x)f(x)f(x) 在该区间上是单调递减的。

判断单调性的五种方法

1. 导数法

导数法是判断函数单调性最常用的方法之一。具体步骤如下：

首先对函数 f(x)f(x)f(x) 求导，得到导数 f′(x)f'(x)f′(x)。

判断导数的符号：

若 f′(x)>0f'(x)>0f′(x)>0，则函数在该区间内单调递增。

若 f′(x)0f'(x)f′(x)0，则函数在该区间内单调递减。

通过求解 f′(x)=0。

2. 定义法

定义法是通过直接应用单调性的定义来判断。步骤如下：

选择区间内任意两个点 x1，x2x_1，x_2x1​，x2​，并假设 x1x2x_1x1​x2​。

计算差值 f(x1)−f(x2)f(x_1)-f(x_2)f(x1​)−f(x2​)，并判断其正负：

若 f(x1)f(x2)f(x_1)f(x1​)f(x2​)，则函数在该区间内单调递增；

若 f(x1)>f(x2)。

3. 性质法

利用已知函数的性质来判断复杂函数的单调性：

如果已知某个简单函数在某个区间内是增（减）函数，可以推导出与之相关的复杂函数也具有相同或相反的单调性。例如：

若 a>0a>0a>0，则 af(x)af(x)af(x) 与 f(x)f(x)f(x) 单调性相同；

若 a0。

4. 图像法

图像法通过绘制函数图像来直观判断单调性：

如果图像在某个区间上向上倾斜，则该区间内是增函数；

如果图像向下倾斜，则该区间内是减函数。这种方法适用于简单且易于绘制图像的函数。

5. 复合函数法

对于复合函数，可以分析内外层函数的单调性：

如果内层和外层都是增（减）函数，则复合函数也是增（减）；

如果其中一个是增，另一个是减，则复合函数为减。

掌握以上五种判断函数单调性的方法，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识。在解决实际问题时，根据具体情况选择合适的方法，将大大提高解题效率和准确性。