伴随矩阵怎么求？附伴随矩阵的计算公式(高中知识)

易道招生网 2025-12-19 17:56:17

伴随矩阵怎么求？附伴随矩阵的计算公式(高中知识)

伴随矩阵是线性代数中的一个重要概念，主要用于求解线性方程组、计算逆矩阵等。本文将详细介绍伴随矩阵的求法及其计算公式。

伴随矩阵的定义

伴随矩阵（Adjugate Matrix）是指一个方阵的每个元素由该元素对应的代数余子式构成，然后对这些元素进行转置。具体来说，设 AAA 是一个 n×nn\times nn×n 的方阵，则其伴随矩阵 A∗A^*A∗ 定义为：

A∗=(A11A21⋯An1A12A22⋯An2⋮⋮⋱⋮A1nA2n⋯Ann)A^*=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots &A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots &A_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1n}&A_{2n}&\cdots &A_{nn}\end{pmatrix}A∗=​A11​A12​⋮A1n​​A21​A22​⋮A2n​​⋯⋯⋱⋯​An1​An2​⋮Ann​​​

其中，Aij=(−1)i+jMijA_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}Aij​=(−1)i+jMij​，而 MijM_{ij}Mij​ 是去掉第 iii 行和第 jjj 列后剩余元素的行列式。

伴随矩阵的求法

1. 计算代数余子式

对于任意元素 aija_{ij}aij​，其代数余子式 AijA_{ij}Aij​ 的计算步骤如下：

去掉第 iii 行和第 jjj 列，得到一个 (n−1)×(n−1)(n-1)\times (n-1)(n−1)×(n−1) 的子矩阵。

计算该子矩阵的行列式，并乘以 (−1)i+j(-1)^{i+j}(−1)i+j。

2. 构建伴随矩阵

在计算出所有的代数余子式后，将这些值按位置放入一个新的矩阵中，然后对该矩阵进行转置，得到伴随矩阵。

3. 示例

假设有一个 2×22\times 22×2 矩阵：

A=(abcd)A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}A=(ac​bd​)

其伴随矩阵为：

A∗=(d−b−ca)A^*=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}A∗=(d−c​−ba​)

4. 行列式与伴随矩阵的关系

伴随矩阵与原矩阵之间存在重要关系，即：

∣A∗∣=∣A∣n−1|A^*|=|A|^{n-1}∣A∗∣=∣A∣n−1

这意味着如果原矩阵 AAA 的行列式不为零，则其伴随矩阵存在并且可逆。

伴随矩阵是线性代数中非常实用的工具，通过以上步骤可以有效地求出任意阶数方阵的伴随矩阵。掌握伴随矩阵的求法不仅有助于理解线性代数的基本概念，还能在实际应用中解决复杂问题，如求解线性方程组和计算逆矩阵等。

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