arctanx的导数是多少？反三角函数的导数公式有哪些

易道招生网 2025-12-20 08:45:26

反三角函数是微积分中重要的概念之一，尤其是在求导方面。本文将详细介绍反正切函数 arctan⁡x\arctan xarctanx 的导数，以及其他反三角函数的导数公式。

arctan⁡x\arctan xarctanx 的导数

反正切函数 y=arctan⁡xy=\arctan xy=arctanx 的导数可以通过以下步骤推导得出：

设 y=arctan⁡xy=\arctan xy=arctanx，则根据三角函数的定义，有 x=tan⁡yx=\tan yx=tany。

对两边同时求导，利用链式法则，得到：

dxdy=sec⁡2y\frac{dx}{dy}=\sec^2ydydx=sec2y

由此可以得到 dy/dx=1/sec⁡2ydy/dx=1/\sec^2ydy/dx=1/sec2y。

利用三角恒等式 sec⁡2y=1+tan⁡2y\sec^2y=1+\tan^2ysec2y=1+tan2y，可以将其转化为：

dy/dx=1/(1+tan⁡2y)dy/dx=1/(1+\tan^2y)dy/dx=1/(1+tan2y)

因为 x=tan⁡yx=\tan yx=tany，所以最终得到：

dy/dx=11+x2dy/dx=\frac{1}{1+x^2}dy/dx=1+x21

反正切函数的导数为：

ddx(arctan⁡x)=11+x2\frac{d}{dx}(\arctan x)=\frac{1}{1+x^2}dxd(arctanx)=1+x21

除了 arctan⁡x\arctan xarctanx，其他常见的反三角函数及其导数公式包括：

反正弦函数:

(arcsinx)′=11−x2(arcsinx)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}(arcsinx)′=1−x21

反余弦函数:

(arccosx)′=−11−x2(arccosx)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}(arccosx)′=−1−x21

反余切函数:

(arccotx)′=−11+x2(arccotx)'=-\frac{1}{1+x^2}(arccotx)′=−1+x21

反正割函数:

(arcsecx)′=1∣x∣x2−1(arcsecx)'=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}(arcsecx)′=∣x∣x2−11

反余割函数:

(arccscx)′=−1∣x∣x2−1(arccscx)'=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}(arccscx)′=−∣x∣x2−11

在微积分中，掌握反三角函数的导数公式是解决许多问题的基础。特别是对于 y=arctan⁡xy=\arctan xy=arctanx，其导数为 11+x2\frac{1}{1+x^2}1+x21，这一结果在实际应用中非常广泛。了解这些公式不仅有助于解题，也为进一步学习更复杂的数学概念打下基础。

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