16个求导公式

在微积分中，求导是一个基本而重要的概念。本文将介绍16个常见的求导公式，帮助读者更好地理解和应用这些公式。

1. 导数定义

导数的定义为：

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}f′(x)=h→0lim​hf(x+h)−f(x)​

这是所有求导公式的基础。

2. 常见求导公式

常数函数：

f(x)=af(x)=af(x)=a 的导数为 f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0

幂函数：

f(x)=xnf(x)=x^nf(x)=xn 的导数为 f′(x)=nxn−1f'(x)=nx^{n-1}f′(x)=nxn−1（nnn 为正整数）

f(x)=xaf(x)=x^af(x)=xa 的导数为 f′(x)=axa−1f'(x)=ax^{a-1}f′(x)=axa−1（aaa 为实数）

指数函数：

f(x)=axf(x)=a^xf(x)=ax 的导数为 f′(x)=axln⁡af'(x)=a^x\ln af′(x)=axlna（a>0，a≠1a>0，a\neq 1a>0，a=1）

f(x)=exf(x)=e^xf(x)=ex 的导数为 f′(x)=exf'(x)=e^xf′(x)=ex

对数函数：

f(x)=log⁡axf(x)=\log_a xf(x)=loga​x 的导数为 f′(x)=1xln⁡af'(x)=\frac{1}{x\ln a}f′(x)=xlna1​

f(x)=ln⁡xf(x)=\ln xf(x)=lnx 的导数为 f′(x)=1xf'(x)=\frac{1}{x}f′(x)=x1​

三角函数：

(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)'=\cos x(sinx)′=cosx

(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)'=-\sin x(cosx)′=−sinx

(tan⁡x)′=(sec⁡x)2(\tan x)'=(\sec x)^2(tanx)′=(secx)2

(cot⁡x)′=−(csc⁡x)2(\cot x)'=-(\csc x)^2(cotx)′=−(cscx)2

(sec⁡x)′=sec⁡xtan⁡x(\sec x)'=\sec x\tan x(secx)′=secxtanx

(csc⁡x)′=−csc⁡xcot⁡x(\csc x)'=-\csc x\cot x(cscx)′=−cscxcotx

反三角函数：

(arcsin⁡x)′=11−x2(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}(arcsinx)′=1−x2​1​

(arccos⁡x)′=−11−x2(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}(arccosx)′=−1−x2​1​

(arctan⁡x)′=11+x2(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}(arctanx)′=1+x21​

(\arccot x)'=-\frac{1}{1+x^2}

3. 四则运算法则

加法法则：

(f+g)'=f'+g'

减法法则：

(f-g)'=f'-g'

乘法法则：

(fg)'=f'g+fg'

除法法则：

(f/g)'=(f'g-fg')/g^2

这些基本的求导公式和法则构成了微积分中的核心内容，掌握它们将极大地帮助学习者解决各种数学问题。通过不断练习和应用这些公式，可以提高对微积分的理解和运用能力。