分式的定义-分式的基本性质(高中知识)

分式是高中数学中的一个重要概念，通常定义为两个整式相除的形式。具体来说，若分子为 AAA 和分母为 BBB，则分式可以表示为 AB\frac{A}{B}BA​。在这个定义中，分母 BBB 必须含有字母，并且不能为零，这一点是确保分式有意义的基本条件。

分式的基本性质

有意义性：分式的分母不能为零。如果 B=0B=0B=0，则该分式无意义。例如，1x\frac{1}{x}x1​ 当 x=0x=0x=0 时无意义。

约分性质：若分子和分母有公因式，可以进行约分。比如，2x4=x2\frac{2x}{4}=\frac{x}{2}42x​=2x​ 是通过约去公因式2得到的。

乘法和除法：两个分式相乘时，可以直接将分子相乘、分母相乘。例如：

AB×CD=A×CB×D\frac{A}{B}\times \frac{C}{D}=\frac{A\times C}{B\times D}BA​×DC​=B×DA×C​

除法则可以转化为乘以倒数：

AB÷CD=AB×DC=A×DB×C\frac{A}{B}\div \frac{C}{D}=\frac{A}{B}\times \frac{D}{C}=\frac{A\times D}{B\times C}BA​÷DC​=BA​×CD​=B×CA×D​

加法和减法：加减两个分式时，需要通分。例如：

AB+CD=AD+BCBD\frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{AD+BC}{BD}BA​+DC​=BDAD+BC​

同类项合并：在处理包含多个项的分式时，可以合并同类项，以简化表达。例如：

x2+2x+1x+1=x+1\frac{x^2+2x+1}{x+1}=x+1x+1x2+2x+1​=x+1

这里通过因式分解得到了简化结果。

符合分式定义和基本性质的例子

例子1：x2−1x−1\frac{x^2-1}{x-1}x−1x2−1​

分子 x2−1x^2-1x2−1 和分母 x−1x-1x−1 都是整式，且当 x=1x=1x=1 时，分母为零，因此该分式在 x=1x=1x=1 时无意义。

例子2：3x+63\frac{3x+6}{3}33x+6​

可以约去公因式3，得到 x+2x+2x+2。

例子3：x2+x−6x2−4\frac{x^2+x-6}{x^2-4}x2−4x2+x−6​

分子可以因式分解为 (x+3)(x−2)(x+3)(x-2)(x+3)(x−2)，而分母可因式分解为 (x−2)(x+2)(x-2)(x+2)(x−2)(x+2)，因此可以约去共同因子，得到：

x+3x+2，x≠2\frac{x+3}{x+2}，x\neq 2x+2x+3​，x=2

通过理解和掌握这些基本性质，学生能够更有效地处理涉及分式的各种数学问题。这些知识不仅在高中阶段重要，也为后续的学习打下坚实基础。