高中常用导数公式表导数函数基本求导公式

高中常用的导数公式是微积分中的重要基础，掌握这些公式对于理解和解决相关数学问题至关重要。本文将介绍常用的导数公式，并列出其基本求导公式。

导数的定义

导数是描述函数变化率的概念。其定义为：

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}f′(x)=h→0lim​hf(x+h)−f(x)​

这表示当自变量的增量趋近于零时，因变量的增量与自变量增量之商的极限。

常用导数公式

以下是高中常用的基本求导公式：

常数函数：

如果 f(x)=cf(x)=cf(x)=c（常数），则 f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0。

幂函数：

如果 f(x)=xnf(x)=x^nf(x)=xn，则 f′(x)=nxn−1f'(x)=nx^{n-1}f′(x)=nxn−1，其中 nnn 为任意实数。

特别地，如果 nnn 为正整数，结果更为简单。

指数函数：

如果 f(x)=axf(x)=a^xf(x)=ax，则 f′(x)=axln⁡af'(x)=a^x\ln af′(x)=axlna，其中 a>0a>0a>0 且 a≠1a\neq 1a=1。

如果 f(x)=exf(x)=e^xf(x)=ex，则 f′(x)=exf'(x)=e^xf′(x)=ex。

对数函数：

如果 f(x)=log⁡axf(x)=\log_a xf(x)=loga​x，则 f′(x)=1xln⁡af'(x)=\frac{1}{x\ln a}f′(x)=xlna1​，其中 a>0a>0a>0 且 a≠1a\neq 1a=1。

自然对数函数：如果 f(x)=ln⁡xf(x)=\ln xf(x)=lnx，则 f′(x)=1xf'(x)=\frac{1}{x}f′(x)=x1​。

三角函数：

如果 (sinx)′=cosx(sinx)'=cosx(sinx)′=cosx

如果 (cosx)′=−sinx(cosx)'=-sinx(cosx)′=−sinx

如果 (tanx)′=(secx)2(tanx)'=(secx)^2(tanx)′=(secx)2

如果 (cotx)′=−(cscx)2(cotx)'=-(cscx)^2(cotx)′=−(cscx)2

如果 (secx)′=secxtanx(secx)'=secxtanx(secx)′=secxtanx

如果 (cscx)′=−cscxcotx(cscx)'=-cscxcotx(cscx)′=−cscxcotx

反三角函数：

如果 (arcsinx)′=11−x2(arcsinx)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}(arcsinx)′=1−x2​1​

如果 (arccosx)′=−11−x2(arccosx)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}(arccosx)′=−1−x2​1​

如果 (arctanx)′=11+x2(arctanx)'=\frac{1}{1+x^2}(arctanx)′=1+x21​

导数法则

除了基本求导公式外，还有一些重要的导数法则：

和差法则：

(f+g)′=f′+g′(f+g)'=f'+g'(f+g)′=f′+g′

(f−g)′=f′−g′(f-g)'=f'-g'(f−g)′=f′−g′

积法则：

(fg)′=f′g+fg′(fg)'=f'g+fg'(fg)′=f′g+fg′

商法则：

(f/g)′=f′g−fg′g2(f/g)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}(f/g)′=g2f′g−fg′​

反函数求导法则：

(f−1(x))′=1f′(y)(f^{-1}(x))'=\frac{1}{f'(y)}(f−1(x))′=f′(y)1​

掌握这些基本的导数公式和法则，将为解答更复杂的微积分问题打下坚实的基础。