反函数怎么求例题

易道招生网 2025-12-20 02:11:01

反函数怎么求例题

反函数是数学中一个重要的概念，它指的是将一个函数的输入和输出进行互换，从而得到的新的函数。求反函数的方法主要有两种：代数法和图像法。本文将通过具体例题来展示如何求反函数，并列出相关的答案。

反函数的定义与求法

设有一个函数 f(x)f(x)f(x)，其反函数记作 f−1(y)f^{-1}(y)f−1(y)。反函数的定义是：如果 y=f(x)y=f(x)y=f(x)，那么 x=f−1(y)x=f^{-1}(y)x=f−1(y)。为了求出反函数，我们通常可以按照以下步骤进行：

将 f(x)f(x)f(x) 表示为 yyy：即 y=f(x)y=f(x)y=f(x)。

交换 xxx 和 yyy：得到 x=f(y)x=f(y)x=f(y)。

解出 yyy：从而得到反函数 f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x)。

例题解析

例题 1：线性函数

求反函数 f(x)=2x+3f(x)=2x+3f(x)=2x+3。

解：

写出方程：y=2x+3y=2x+3y=2x+3。

交换变量：x=2y+3x=2y+3x=2y+3。

解出 yyy:

x−3=2yx-3=2yx−3=2y

y=x−32y=\frac{x-3}{2}y=2x−3​

反函数为：

f−1(x)=x−32f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}f−1(x)=2x−3​

例题 2：平方根函数

求反函数 f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2，限制定义域为 x≥0x\geq 0x≥0。

解：

写出方程：y=x2y=x^2y=x2。

交换变量：x=y2x=y^2x=y2。

解出 yyy:

y=xy=\sqrt{x}y=x​

反函数为：

f−1(x)=xf^{-1}(x)=\sqrt{x}f−1(x)=x​

例题 3：对数函数

求反函数 f(x)=ln⁡(x+2)f(x)=\ln(x+2)f(x)=ln(x+2)。

解：

写出方程：y=ln⁡(x+2)y=\ln(x+2)y=ln(x+2)。

交换变量：x=ln⁡(y+2)x=\ln(y+2)x=ln(y+2)。

解出 yyy:

使用指数形式，得 ex=y+2e^x=y+2ex=y+2

y=ex−2y=e^x-2y=ex−2

反函数为：

f−1(x)=ex−2f^{-1}(x)=e^x-2f−1(x)=ex−2

通过以上例题，我们可以看到求反函数的基本步骤和方法。对于线性、平方根及对数等常见类型的函数，我们可以通过代数变换轻松得到其反函数。掌握这些技巧不仅有助于解决具体问题，也为更复杂的数学分析打下基础。希望读者能够在实际应用中灵活运用这些知识，进一步深化对反函数的理解。

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