arctanx的导数是多少？反三角函数的导数公式有哪些

反三角函数的导数是微积分中的重要内容，其中反正切函数 y=arctan⁡xy=\arctan xy=arctanx 的导数尤为常见。本文将详细介绍 arctan⁡x\arctan xarctanx 的导数以及其他反三角函数的导数公式。

arctan⁡x\arctan xarctanx 的导数

对于反正切函数 y=arctan⁡xy=\arctan xy=arctanx，其导数可以通过反函数求导法则得到。设 x=tan⁡yx=\tan yx=tany，则有：

dxdy=sec⁡2y=1+tan⁡2y\frac{dx}{dy}=\sec^2y=1+\tan^2ydydx​=sec2y=1+tan2y

反正切的导数为：

dydx=1dxdy=1sec⁡2y=11+tan⁡2y\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{\sec^2y}=\frac{1}{1+\tan^2y}dxdy​=dydx​1​=sec2y1​=1+tan2y1​

由于在这个情况下，tan⁡y=x\tan y=xtany=x，所以可以进一步简化为：

dydx=11+x2\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^2}dxdy​=1+x21​

反正切函数的导数为：

(arctan⁡x)′=11+x2(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}(arctanx)′=1+x21​

反三角函数的导数公式

除了 arctan⁡x\arctan xarctanx 之外，其他反三角函数的导数公式也非常重要，以下是主要的反三角函数及其对应的导数：

反正弦函数:

(arcsin⁡x)′=11−x2(x∈(−1，1))(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\quad (x\in (-1，1))(arcsinx)′=1−x2​1​(x∈(−1，1))

反余弦函数:

(arccos⁡x)′=−11−x2(x∈(−1，1))(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\quad (x\in (-1，1))(arccosx)′=−1−x2​1​(x∈(−1，1))

反正切函数:

(arctan⁡x)′=11+x2(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}(arctanx)′=1+x21​

反余切函数:

(arccot x)′=−11+x2(\text{arccot }x)'=-\frac{1}{1+x^2}(arccot x)′=−1+x21​

反正割函数:

(arcsec x)′=1∣x∣x2−1(x−1 or x>1)(\text{arcsec }x)'=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\quad (x1)(arcsec x)′=∣x∣x2−1​1​(x−1 or x>1)

反余割函数:

(arccsc x)′=−1∣x∣x2−1(x−1 or x>1)(\text{arccsc }x)'=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\quad (x1)(arccsc x)′=−∣x∣x2−1​1​(x−1 or x>1)

通过上述分析，我们可以明确 y=arctan⁡xy=\arctan xy=arctanx 的导数为 11+x2\frac{1}{1+x^2}1+x21​。其他反三角函数的导数公式也提供了丰富的工具，用于解决涉及这些函数的微分问题。在实际应用中，这些公式不仅在理论上重要，也在工程、物理等领域中具有广泛的应用价值。掌握这些基本的导数公式，对于深入学习微积分及其应用至关重要。