中考数学压轴题分析：建系法解几何题

线段求值的方法千千万，建系法也是一种巧妙的方法。

本篇文章介绍今年遵义的中考数学几何压轴题的解法。

本题的图形比较特别，正方形内含等腰直角三角形。此类图形也是中考题中的热点，北京与广东等多地省份中考都考过类似的图形。

【中考真题】

（2020·遵义）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A、C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD、AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G．

（1）求证：EF＝DE；

（2）当AF＝2时，求GE的长．

【分析】

题（1）证明两个线段相等，一般考虑证明全等的方式。

图中发现△DME≌△ENF有可能成立，找条件即可。

所有的角都对应相等，但是缺一条边。本题需要利用点E的特殊位置——对角线上。所以可以得到ME=MC=BN，进而得到MD=NE。结论得证。

当然，还可以构造如下的辅助线，过点E作AC的垂线，交AB的延长线于点H，并连接BH。得到△AEH为等腰直角三角形，进而易得△ADE≌△HFE（AAS）。

当然，要点还是第（2）小题。求的是GE的长度。

已知AF的长度，则可以得到图形是固定的，必然有方法可以求出。

何不直接建系？

选其中的一个顶点为原点，标出A、B、C、D和F的坐标，进而得出直线DF与AC的解析式，联立求出点G的坐标。连接BE，易得BE=FE，进而得NF=NB=1。可以得到点E的坐标。再利用勾股定理即可得出GE的长度。

你以为结束了吗？

本题有陷阱哦！

事出反常必有妖，题目告诉点F在BA及其延长线上，那么点F有没有可能在延长线上呢，画一画就知道了。

此时点F在x轴的负半轴，仍然成立，得BN=FN=3，可以得到点E的另一种可能，然后求出点G和E的坐标之后，再求长度即可。

当然，本题还有一些常规的思路进行求解，例如相似等等。

先求出AG和CG的长度，再求出CE的长度即可。

或者也可以过点E作DF的垂线，求出HE和HG的长度，然后就可以得到GE的长度了。

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，

∴∠ECM＝45°，

∵MN∥BC，∠BCM＝90°，

∴∠NMC+∠BCM＝180°，∠MNB+∠B＝180°，

∴∠NMC＝90°，∠MNB＝90°，

∴∠MEC＝∠MCE＝45°，∠DME＝∠ENF＝90°，

∴MC＝ME，

∵CD＝MN，

∴DM＝EN，

∵DE⊥EF，∠EDM+∠DEM＝90°，

∴∠DEF＝90°，

∴∠DEM+∠FEN＝90°，

∴∠EDM＝∠FEN，

在△DME和△ENF中

∠EDM=∠FEN，DM=EN，∠DME=∠ENF，

∴△DME≌△ENF（ASA），

∴EF＝DE；

（2）如图1所示，由（1）知，△DME≌△ENF，

∴ME＝NF，

∵四边形MNBC是矩形，

∴MC＝BN，

又∵ME＝MC，AB＝4，AF＝2，

∴BN＝MC＝NF＝1，

∵∠EMC＝90°，

∴CE=√2，

∵AF∥CD，

∴△DGC∽△FGA，

∴CD/AF=CG/AG，

∴4/2=CG/AG，

∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，

∴AC＝4√2，

∵AC＝AG+GC，

∴AG=(4√2)/3，CG=(8√2)/3，

∴GE＝GC﹣CE=(8√2)/3-√2=(5√2)/3；

如图2所示，

同理可得，FN＝BN，

∵AF＝2，AB＝4，

∴AN＝1，

∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，

∴AC＝4√2，

∵AF∥CD，

∴△GAF∽△GCD，

∴AF/CD=GA/GC，

即2/4=AG/(AG+4√2)，

解得，AG＝4√2，

∵AN＝NE＝1，∠ENA＝90°，

∴AE=√2，

∴GE＝GA+AE＝5√2．

【总结】

解题是一定要注意题目中的一些字眼，可能会起到关键作用。

其次，求线段长度，无非就是相似、三角、勾股、等面积及建系等几种常用的方法。

【举一反三】

（2016广东）如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC＝2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．

（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？

（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；

（3）在平移变换过程中，设y＝S△OPB，BP＝x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．

【答案】（1）四边形APQD为平行四边形；

（2）OA＝OP，OA⊥OP，理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝PQ，∠ABO＝∠OBQ＝45°，

∵OQ⊥BD，

∴∠PQO＝45°，

∴∠ABO＝∠OBQ＝∠PQO＝45°，

∴OB＝OQ，

在△AOB和△OPQ中，

AB=PQ，∠ABO=∠PQO，BO=QO

∴△AOB≌△POQ（SAS），

∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，

∴∠AOP＝∠BOQ＝90°，

∴OA⊥OP；

（3）如图，过O作OE⊥BC于E．

①如图1，当P点在B点右侧时，

则BQ＝x+2，OE=(x+2)/2，

∴y=1/2×(x+2)/2x，即y=1/4（x+1）-1/4，

又∵0≤x≤2，

∴当x＝2时，y有最大值为2；

②如图2，当P点在B点左侧时，

则BQ＝2﹣x，OE=(2-x)/2，

∴y=1/2×(2-x)/2x，即y=-1/4（x﹣1）+1/4，

又∵0≤x≤2，

∴当x＝1时，y有最大值为1/4；

综上所述，∴当x＝2时，y有最大值为2．