高等数学公式大全;高等数学公式大全pdf

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高等数学公式大全

1. 极限与连续

1.1 极限定义：设函数f(x)在点x=a的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立，则称数L是函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim?(x→a)?f(x)=L。

1.2 常用极限：lim?(x→∞)?(1+x)^1/x=e，lim?(x→0)?sinx/x=1，lim?(x→0)?(1+1/x)^x=e。

1.3 连续性：设函数f(x)在点x=a处有定义，如果lim?(x→a)?f(x)=f(a)，则称函数f(x)在点x=a处连续。

1.4 常用连续性：多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数在其定义域内都是连续的。

2. 导数与微分

2.1 导数定义：设函数y=f(x)在点x=a处有定义，如果极限lim?(Δx→0)?(f(a+Δx)-f(a))/Δx存在，则称该极限为函数f(x)在点x=a处的导数，记作f'(a)或dy/dx|_(x=a)。

2.2 常用导数：(a)常数函数的导数为0；(b)幂函数的导数为幂次减1的函数；(c)指数函数的导数为该指数的函数；(d)对数函数的导数为1/x；(e)三角函数的导数为其导函数。

2.3 微分定义：设函数y=f(x)在点x=a处有定义，若存在常数A，使得Δy=AΔx+o(Δx)，其中lim?(Δx→0)?o(Δx)/Δx=0，则称Δy为函数f(x)在点x=a处的微分，记作dy=AΔx或dy=f'(a)dx。

2.4 常用微分：(a)常数函数的微分为0；(b)幂函数的微分为幂次函数的微分；(c)指数函数的微分为该指数函数的微分；(d)对数函数的微分为1/x的微分；(e)三角函数的微分为其导函数的微分。

3. 积分与定积分

3.1 不定积分定义：设函数F(x)在区间[a,b]上有定义，如果F'(x)=f(x)，则称函数F(x)是函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，记作∫f(x)dx=F(x)+C，其中C为常数。

3.2 常用不定积分：(a)常数函数的不定积分为该常数乘以x；(b)幂函数的不定积分为幂次加1的函数的不定积分除以幂次加1；(c)指数函数的不定积分为该指数函数的不定积分；(d)对数函数的不定积分为其积分为xln|x|-∫(1/x)dx；(e)三角函数的不定积分为其积分为其原函数。

3.3 定积分定义：设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，将区间[a,b]分成n个小区间，其中第i个小区间为[x_i-1,x_i]，设ξ_i为第i个小区间上的任意一点，若极限lim?(n→∞)?∑[i=1,n]?f(ξ_i)Δx_i存在，则称该极限为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫[a,b]?f(x)dx。

3.4 常用定积分：(a)常数函数的定积分为该常数乘以区间长度；(b)幂函数的定积分为幂次加1的函数的定积分除以幂次加1，再用上限减去下限；(c)指数函数的定积分为该指数函数的定积分；(d)对数函数的定积分为其积分为xln|x|-∫(1/x)dx，再用上限减去下限；(e)三角函数的定积分为其积分为其原函数，再用上限减去下限。

4. 级数

4.1 数列极限：设数列{a_n}有极限lim?(n→∞)?a_n=L，若对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，有|a_n-L|<ε成立，则称数L为数列{a_n}的极限。

4.2 常用数列极限：lim?(n→∞)?(1+1/n)^n=e，lim?(n→∞)?(1+1/n)^(n+1)=e。

4.3 级数定义：设数列{a_n}有极限lim?(n→∞)?a_n=0，将数列{a_n}的项依次相加所得的无穷和S_n=a_1+a_2+?+a_n称为级数，记作∑[n=1,∞]?a_n。

4.4 常用级数：(a)等比级数∑[n=1,∞]?ar^(n-1)=a/(1-r)，其中|r|<1；(b)调和级数∑[n=1,∞]?1/n发散。

以上仅是高等数学中的一小部分公式，希望对您有所帮助。如需更详细的公式内容，请参考相关高等数学教材或查阅相关资料。

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